Раціональні числа та дії над ними

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння. Рівняння - це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буква-ми. Невідомі числа в рівнянні називають змінними (змінна - variable). Змінні найчастіше позначають буквами x,y,z, хоч можна позначити їх і іншими буквами. Наприклад 5x=30, 3a=18. Рівняння x(x-2)(x-3)=0 має три корені: x=0, x=2, x=3. Основні властивості рівнянь Основні властивості рівняння», розглянувши такі види рівнянь, як 1. Прості рівняння: х + 4 = 7; 5 – х = 12; 3х = 21; 15 : х = 3; 0х = 8.

Розв’язування лінійних рівнянь 2. Складні рівняння: 5(2х + 1) = 20 Рівнянням називають рівність, яка містить змінну (невідоме). Наприклад, 3x+2=0, x2+6x-5=0 – рівняння. Дії над лінійними рівняннями: 1) х = 2; 2) 2 – 2 + 9 = 13, 15 – 2 =13, 13 = 13 2) (х + 0,5) - 12 + 8х = 26, 12х + 6 + 8х = 26, 20х = 26-6, х = 20:20, х = 1, х + 0,5 = 1,5. Розв’язування задач за допомогою рівнянь Задача 1. Костюм на 119 грн. дешевший за пальто. Скільки коштує кос­тюм, якщо пальто в 1,7 раза дорожче за костюм? Розв'язання. Нехай костюм коштує х грн., тоді пальто коштує 1,7х грн. За умовою задачі костюм на 119 грн. дешевший за пальто. Складаємо рівняння: 1,7х-х =119, 0,7х =119,

х = 119: 0,7,

х = 170. Відповідь. 170 грн. Перпендикулярні прямі. Побудова перпендикулярних прямих за допомогою косинця Побудова і поділ кутів. Під час побудови перпендикулярних прямих за допомогою лінійки та косинця останній гіпотенузою прикладають до лінійки, а катетом – до лінії АВ. Не змінюючи положення лінійки, косинець приставляють до неї меншим катетом. Через точку С проводять лінію А1В1, яка буде перпендикулярна до лінії АВ. Поділ відрізка прямої на дві рівні частини. З кінців відрізка АВ описують одним і тим самим радіусом дві допоміжні дуги. Через точки С та D перетину дуг проводять допоміжну пряму, що перетинає пряму АВ в точці Е. Остання ділить задану пряму АВ на дві рівні частини АЕ та ЕВ. Поділ відрізка прямої на чотири рівні частини. З кінців відрізка прямої АВ радіусом, більшим від половини відрізка, по обидва боки від прямої проводять дуги кіл. Сполучивши точки С та D перетину дуг, відрізок прямої АВ ділять навпіл. Аналогічним способом кожну половину відрізка ділять на дві рівні частини АМ і МК, KN і NB.Терміни і означення. Кутом називається фігура, утворена двома прямими, що виходять з однієї точки. Прямі, які утворюють кут, називаються сторонами кута, а точка їх перетину є вершиною кута. Кути вимірюються в градусах (наприклад, 65°). Кут, що дорівнює 90°, називається прямим, менше 90° – гострим, а більше 90° – тупим.

Паралельні прямі. Властивості паралельних прямих. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то: 1) внутрішні різносторонні кути рівні; 2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює ; 3) зовнішні різносторонні кути рівні; 4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює ; 5) відповідні кути рівні

На рисунку зображені кути, утворені в результаті перетину двох прямих січною:

і ; і — внутрішні різносторонні кути при прямих a, b і січній c. і ; і — внутрішні односторонні. і ; і — зовнішні односторонні. і ; і — зовнішні різносторонні. і ; і ; і ; і — відповідні. Паралельні прямі Побудова паралельних прямих. Для побудови паралельних прямих ліній – горизонтальних, вертикальних, похилих – користуються рейсшиною або лінійкою і косинцем. Останній з лінійкою суміщують однією стороною із заданою лінією АВ. Потім косинець переміщують по нерухомій лінійці на задану відстань d або до заданої точки С і проводять потрібну лінію A1B1, яка буде паралельна лінії АВ. У такий спосіб можна провести будь-яку кількість прямих, паралельних заданій лінії. Прямокутна система координат Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальна вісь позначається як x (вісь абсцис), вертикальна як y (вісь ординат). В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z. Всі точки в системі Декартових координат, складають так званий Декартовий простір.

Точка перетину, де осі зустрічаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку. Поняття функції розтлумачено в різних математичних словниках, підручниках, посібниках; широко описана методика вивчення цього поняття в старших классах школи. Графіків залежностей між величинами. Графік шляху, графіки інших залежностей Сучасне означення функції подається через відношення між множинами Х та У, за якого кожному елементу х множини Х відповідає не більше одного елемента у множини У. З цього означення випливає, що у символічному записі у = f (х) функцією названо не змінну f(х), а відношення f.