Алгебра. 11 клас. Показникова і логарифмічна функції

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук


Показникова функція

Показникова— функція виду , де — стале число (додатне, але не дорівнює одиниці). Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експонентою (дійсною або комплексною).

Визначення

Нехай a — додатне дійсне число, x - раціональне число: 

Основні властивості

Дійсна показникова функція визначена на всій дійсній осі і більше нуля. При a > 1 вона всюди зростає; при 0 < a < 1 функція спадає на всій області визначення. Виконуються тотожності • • • Зворотна функція до показникової функції — логарифм. Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідна

Експонента

e — це таке унікальне число a, при якому похідна показникової функції f (x) = ax (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2x (точкова крива) та 4x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним) Експонента (exp ) — функція , де e — основа натурального логарифма ( - число Ейлера). Властивості Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона усюди зростає і більша нуля. Зворотна функція до неї — натуральний логарифм. Експонента нескінченно диференційована. Її похідна в точці нуль дорівнює "1", тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°. Основна функціональна властивість експоненти: . Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид , де c — деяка константа.


Логарифмічна функція

Логарифмічна функція Логарифмічна функція ставить у відповідність кожному значенню змінної його логарифм за наперед обраною основою .

Властивості логарифмічної функції:

• множина визначення логарифмічної функції , • логарифмічна функція є монотонною, причому o є зростаючою якщо o є спадною якщо • логарифмічні функції за різними основами є пропорційними, • функція є оберненою до показникової функції , • розклад у ряд Тейлора

• похідна

,
,

• невизначений інтеграл