Геометрія. 8 клас. Чотирикутники

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Чотирикутник та його елементи

Означення чотирикутника Чотирикутником називається фігура, що складається із чотирьох точок (вершин чотирикутника) і чотирьох відрізків, які послідовно сполучають ці точки (сторін чотирикутника). При цьому ніякі три з цих точок не лежать на одній прямій, а відрізки, що сполучають їх, не перетинаються.


Паралелограм

Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, тобто лежать на паралельний приямих. Дуже часто паралелограм являється прямокутником, квадратом чи ромбом.


  Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
  Ромб — паралелограм, всі чотири сторони котрого рівні між собою;
  Квадрат — рівнобічний прямокутник.

Паралелограм є плоскою геометрічною фігурою, його аналогом в трьохвимірному просторі є паралелепіпед

Площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

  S=DC \cdot h_{DC}=AD \cdot DC \cdot \sin \angle D=DC \cdot BC \cdot \sin \angle C.
  S= {1\over 2} d_1 d_2 \sin \angle AED.

Якщо розглядати паралелограм як геометрічну фігуру, яка побудована на двох векторах \vec {DA} та \vec {DC}, то площа паралелограму буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів:

  S=| \vec {DA}\times \vec {DC} |.

Властивості паралелограма

 - Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто AB=DC та AD=BC.
 - Протилежні кути паралелограма дорівнюють один одному: ∠A=∠C та ∠B=∠D.
 - Діагоналі паралелограма перетинаються та в точці перетину діляться навпіл.
 - Сума кутів, які торкаються однієї сторони, дорівнює 180°. Загальна сума кутів паралелограма дорівнює 360°.
  -Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів його сторін.

Ознаки паралелограма

1)Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто AB=DC та AD=BC.
  2)Протилежні кути паралелограма дорівнюють один одному: ∠A=∠C та ∠B=∠D.
  3)Діагоналі паралелограма перетинаються та в точці перетину діляться навпіл.
  4)Сума кутів, які торкаються однієї сторони, дорівнює 180°. Загальна сума кутів паралелограма дорівнює 360°.
  5)Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів його сторін.


Прямоку́тник

Прямоку́тник — це чотирикутник, усі кути якого прямі. Сторони прямокутника попарно паралельні і рівні.

Властивості:

1. Діагоналі прямокутника рівні.

2. Висоти прямокутника є одночасно й його сторонами.

3. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло при чому діагональ прямокутника дорівнює діаметру даного кола.

4. Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його не протилежних сторін.

Квадрат — рівносторонній прямокутник.

Прямокутник є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є прямокутний паралелепіпед.


Ромб. Квадрат

Ромб (грец. ρομβος) — чотирикутник з рівними сторонами.

Ромб, сторони якого утворюють прямий кут зветься квадратом.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Нехай ABCD - даний ромб. Діагоналі ромба перетинаються в точці O. За властивості паралелограма AO = OC, значить BO - медіана Δ ABC. А так як трикутник ABC - рівнобедрений, то за властивостями медіани рівнобедреного трикутника проведеної до основи, BO є також висотою і бісектрисою. Значить пряма BO ⊥ AC і ∠ ABO = ∠ CBO.

Теорема Фалеса

В геометрії, Теорема Фалеса (названа на честь Фалеса з Мілету) стверджує, що якщо A, B і C є точками на колі де відрізок AC є діаметром кола, тоді кут ABC є прямим.

Трапеція

Трапе́ція — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні, а дві інші — ні. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AB та CD на малюнку). Непаралельні сторони називаються бічними сторонами (сторони AD та BC).

Виділяють три спеціальні класи трапецій:

  Рівнобічна трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.
  Прямокутна трапеція — це трапеція у якої два кути прямі.
  Різностороння трапеція, у якої всі сторони різні.

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її довжина дорівнює їх півсумі:

  l=\frac{a+b}{2}.

Формула, де a, b — основи, c і d — бічні сторони трапеції:

  S=\frac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\left(\frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}\right)^2}

Відстань h між основами трапеції називається висотою трапеції.

Центральні і вписані кути

Центральні та вписані кути Теоретичні відомості Центральний кут - вершина кута збігається з центром кола; - вимірюється дугою, яка йому відповідає. кутАВС=˘АС

Вписаний кут

- вершина кута лежить на колі, сторони перетинають коло; - вимірюється половиною дуги,на яку спирається. кутАВС=1/2˘АС


-кутАВС=1/2кутАОС; - вписаний кут, що спирається на діаметр кола - прямий; - вписані кути , що спираються на одну дугу, рівні.

Вписані й описані чотирикутники

Вписані й описані чотирикутники Вписані й описані чотирикутники Теорема 1. Нав­коло чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює Вписані й описані чотирикутники. На рисунку Вписані й описані чотирикутники. Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус — половина діагоналі. Вписані й описані чотирикутники Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.) Вписані й описані чотирикутники Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють одна ­одній. На рисунку Вписані й описані чотирикутники. Вписані й описані чотирикутники Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутник або паралелограм загального виду. Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнює половині висоти ромба, а у квадраті — половині сторони (рисунок справа). Вписані й описані чотирикутники Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута. Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її середній лінії. Вписані й описані чотирикутники Вписані й описані чотирикутникиВписані й описані чотирикутники