Геометрія. 7 клас. Взаємне розташування прямих на площині

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Означення. Аксіоми

Геометрія — це наука про властивості геометричних фігур. Зверніть увагу: геометрична фігура — це не тільки трикутник, коло, піраміда тощо, а й будь-яка множина точок. Планіметрія — це розділ геометрії, у якому вивчаються фігури на площині. Точка і пряма є основними поняттями планіметрії. Це означає, що цим поняттям не можна дати точне означення. Їх можна тільки уявити, спираючись на досвід та перелічивши їхні властивості. Твердження, справедливість яких приймається без доведення, називаються аксіо­мами. Вони містять формулювання основних властивостей найпростіших фігур. Твердження, які доводять, називаються теоремами. Означення — це пояснення якогось поняття, яке спирається або на основні поняття, або на поняття, що визначені раніше. Позначення: точки позначаються великими латинськими буквами; прямі — малими латинськими буквами або двома великими латинськими буквами (якщо на прямій позначені дві точки). На рисунку зображено точки A, B, C, N, М та прямі a і b. Пряму а можна позначити як пряму MN (або NM).

Image8756image 0 fmt.jpeg

Запис Sprav-ukr3823 fmt.jpeg означає, що точка M лежить на прямій а. Запис 2222222222222222.jpeg означає, що точка С не лежить на прямій а. Треба розуміти, що прямі a і b на рисунку перетинаються, хоча ми не бачимо, у якій ­точці.

Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині

Аксiома І.

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну. (Треба розуміти, що тут містяться два твердження: по-перше — існування такої прямої, а по-друге — її єдиність.)

Аксiома ІІ.

Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими. Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. На рисунку зображено відрізок АВ (відрізок позначають, записуючи його кінці).


333333333333.jpeg


Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків

Аксiома ІІІ.

1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.

2. Довжина відрізка дорівнює сумі дов­жин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

Основна властивість розміщення точок відносно прямої на площині

Аксiома ІV.

Пряма розбиває площину на дві півпло­щини. Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якого-небудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму; якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму.

Півпрямою, або променем,називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Ця точка називається початковою точкою променя. Різні півпрямі однієї прямої зі спільною початковою точкою називаються доповняльними. На рисунку подані промені AB (він же AC), DA (або DB, DC), BC, CB (або CA, CD), BA (або BD), AD.


44444444444444.jpeg


Промені AB і AD, BC і BD — доповняльні. Промені BD і AC не є доповняльними, бо у них різні початкові точки. Кут — це фігура, яка складається з точки — вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,— сторін кута. Кут, поданий на рисунку, можна позначити так: 555555555555.jpeg,7777777777.jpeg,99999999999999.jpeg.


666666666666666666.jpeg


Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими, кут називають розгорнутим:


111111111100000000.jpeg


Кажуть, що промінь проходить між сторонами кута, якщо він виходить з його вершини й перетинає який-небудь відрізок з кінцями на його сторонах. Для розгорнутого кута вважаємо, що будь-який промінь, який виходить з його вершини і відмінний від його сторін, проходить між сторонами кута.

Основні властивості вимірювання кутів

Аксiома V.

1. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює .

2. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Основні властивості відкладання відрізків і кутів

Аксiома VІ.

На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної дов­жини, і тільки один.

Аксiома VІІ.

Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 2222222222222222222222222222222222222.jpeg, і тільки один.

Аксіома паралельних прямих

Аксiома VІІІ.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній. Зверніть увагу: аксіома стверджує єдиність такої прямої, але не стверджує її існування.

Взаємне розміщення прямих на площині

Дві прямі на площині можуть:

• збігатися;

• бути паралельними (тобто не перетина­тися);

• мати одну спільну точку.

(Дійсно, якщо б дві прямі могли мати хоча б дві спільні точки, то через ці дві точки проходили б дві різні прямі, що суперечить аксіомі І, п. 2).


Суміжні й вертикальні кути

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони є доповняльними півпрямими. На рисунку 111111111111111111111111111111111.jpeg і 2222222222222.jpeg — суміжні.


Dfdfdf.jpeg


Властивості суміжних кутів

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює . (Зверніть увагу: кути, сума яких дорівнює , не обов’язково суміжні.)

Теорема 2. Коли два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні.

Теорема 3. Кут, суміжний із прямим ­кутом, є прямий кут.

Теорема 4. Кут, суміжний із гострим ­кутом, — тупий.

Теорема 5. Кут, суміжний із тупим кутом, — гострий.

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними півпрямими сторін другого. На рисунку 111111111111111111111111111111111.jpeg і 333333333333333333.jpeg , а також 7777777777.jpeg і 5555555555555555555555.jpeg — вертикальні:


66666666666666666666666666.jpeg


Властивості вертикальних кутів

Теорема 1. Вертикальні кути рівні.(Але не всі рівні кути вертикальні.)

Теорема 2. Кути, вертикальні рівним, ­рівні. Якщо дві прямі перетинаються, то вони утворюють чотири нерозгорнутих кути (див. рисунок). Кожні два із цих кутів або суміжні, або вертикальні:


7777777777777.jpeg


∠1 і ∠2; ∠3 і ∠4 - вертикальні;

∠1 і ∠3; ∠1 і ∠4, ∠2 і ∠3; ∠2 і ∠4 - суміжні.

Перпендикуляр

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (див. рисунок), тобто, коли вони перетинаються, утворюються чотири прямих кути. Позначення: a⊥b.


Hrt.jpeg


Теорема 1. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму, і до того ж тільки одну. Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним зі своїх кінців точку їх перетину. На рисунку AB — перпендикуляр, проведений із точки A до прямої a. Точка B називається основою перпендикуляра. Позначення: AB⊥a.


Eeeeeeeeeee.jpeg


Теорема 2. Із будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр, і тільки один. Зверніть увагу: теорема містить два твердження — існування перпендикуляра і його єдиність. 

Корисні посилання

[1]- Довідник з математики - formyla.com.ua - математика для школи.

[2] - Математика Для Всех - On-line справочник по Математике.

[3] - Паралельні прямі - Вікіпедія

[4] - Конспект уроку на тему "Суміжні кути та їх властивості"