Алгебра 7 клас цілі вирази

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Многочлен

В математиці, многочленом чи поліномом або багаточленом однієї змінної називається вираз вигляду де ci є сталими коефіцієнтами (константами), а x — змінна. Наприклад, 12 + 3.1x + 2x6, та 1 + x + x2 + x3, є многочленами, але та не є многочленами. Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих ступенів змінних та константи: Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Зміст [сховати]

1 Пов'язані терміни 2 Операції над многочленами 3 Корінь многочлена 4 Розкладання многочлена на нескоротні множники 5 Основна теорема алгебри 6 Див. також 7 Література 8 Див. також


В многочлені доданки cixi називаються його членами. Якщо , то cnxn називається старшим членом, а його степінь n степенем многочлена. Степінь многочлена f(x) позначається deg(f). Член нульового степеня c0 називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен f(x) = 0 (інколи пишуть , щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, .

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня - лінійним, другого степеня - квадратичним, третього степеня - кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами - двочленом, з трьома - тричленом.

Наприклад, x3 + 2x + 5 - кубічний тричлен з членами x3, 2x і 5, причому x3 - це старший член, а 5 - вільний член. [ред.] Операції над многочленами Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.

Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.

Многочлени можна ділити з остачею: якщо g(x) - ненульовий многочлен, то будь-який многочлен f(x) можна представити у вигляді f(x) = q(x)g(x) + r(x),

де q(x) і r(x) - многочлени, причому deg(r) < deg(g). [ред.] Корінь многочлена Детальніше у статті Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної x. Число a називається коренем многочлена f(x), якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо f(a) = 0. Це рівносильно умові "Многочлен f(x) ділиться на двочлен x − a без остачі" (див. теорему Безу). Якщо f(x) ділиться на (x − a)2 без остачі, то корінь a називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число k, для якого f(x) ділиться на (x − a)k без остачі (таким чином, прості корені - це корені кратності 1). [ред.] Розкладання многочлена на нескоротні множники

Якщо неконстантний многочлен f(x) можна представити у вигляді f(x) = g(x)h(x), де g(x) і h(x) - многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що f(x) розкладено на нетривіальні множники g(x), h(x). Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки deg(f) = deg(g) + deg(h), deg(g) > 0 і deg(h) > 0,

то deg(g) < deg(f) і deg(h) < deg(f).

Якщо якийсь з множників g(x), h(x) можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення f(x) у вигляді


де многочлени fi(x) є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точніс