Алгебра. 9 клас. Квадратична функція

Матеріал з Фізмат Вікіпедії
Перейти до: навігація, пошук

Функції. Властивості функції: нулі функції, проміжки знакосталості, зростання і спадання функції. Функція, її графік і властивості Квадратна нерівність. Розв’язування квадратних нерівностей y=2x2+12x-19.


Квадратична функція

Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y=ax2+bx+c , де x — незалежна змінна, a, b, c — довільні числа, причому а не дорівнює нулю. Графіки функцій y=ax2+bx+c і y=ax2— рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням. А це означає, що графік функції можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції .

Отже, щоб дістати графік функції y=2x2+12x-19, треба зробити з графіком функції y=ax2 такі перетворення: 1) відобразити симетрично осі Ox; 2) зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox; 3) зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз. Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції y=2x2+12x-19:

Image8756image 78 fmt2.jpeg

Абсциса точки перетину параболи з віссю Oy дорівнює 0, тоді Y(0)=c, . Ордината точок перетину параболи з віссю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння . Якщо це рівняння має два різних корені і , графік перетинає вісь Ox у точках (x;0) (x;0), . Якщо це рівняння не має коренів , парабола не перетинає вісь Ox. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a. Якщо a>0, вітки параболи напрямлені вгору. Якщо a<0, вітки параболи напрямлені вниз. Парабола є симетричною відносно прямої .

Image8756image 36 fmt2.jpegImage8756image 61 fmt2.jpeg

  a>0,D>0,c<0       a<0,D<0,c<0

Image8756image 37 fmt2.jpeg

    a>0,D<0,c>0                                  

Image8756image 38 fmt2.jpeg Image8756image 72 fmt2.jpeg

  a<0,D=0,c<0      a<0,D>0,c<0

Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду ax2+bx+c, де , b, c — дані числа, а правою — нуль, то таку нерівність називають квадратною нерівністю. Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних функцій. Для цього треба: 1) знайти корені тричлена або з’ясувати, що їх немає; 2) зобразити схематично графік функції , звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а; 3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.

Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «за коренями», а від’ємних — «між коренями»; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «між коренями», а від’ємних — «за коренями».

Використані джерела

[1]

[2]

[3]